Bagaimana hubungan volume rongga suatu kristal yang diisi oleh bola (atom) dengan tipe bangun kemas??

Misalkan bila diketahui jari – jari suatu atom (bola) yaitu r, panjang sisi kubus yaitu a. Berapa persen volume rongga di dalam kubus dengan tipe bangun kemas:
Simple cube (cs) / kubus sederhana
Body centered cube (bcc) / kubus berpusat badan
Face centered cube (fcc) / kubus berpusat muka
(catatan : panjang sisi merupakan jarak antara dua pusat atom yang berdekatan)

Penyelesaian:
Simpel cube (cs) / kubus sederhana
Volume kubus
Karena pajang sisi kubus adalah a, maka volume kubus = a^3.
Volume atom/bola
Pada tipe ini, pada sudut kubus ditempati oleh 8 atom dimana tiap atom memberikan/berkontribusi seperdelapan bagian untuk membentuk satu kubus, sehingga satu kubus tersebut terdiri dari 1 atom (8 atom sudut x ⅛ = 1 atom). Dengan demikian volume atom pada simple cube ini adalah
=4/3 x phi x r^3
= 4/3 x (3.14) x r^3
= 4.187 r^3
Panjang sisi kubus sama dengan dua kali jari- jari atom, maka volume rongga pada kubus sederhana,
= volume kubus – volume atom
= a^3 – 4.187 r^3
= (2r)^3 – 4.187 r^3
= 3.813 r^3
Sehingga persen volume rongga pada tipe kubus sederhana,
={(volume rongga)/volume kubus } x 100 %
= {(3.813 r^3)/(8r^3)} x 100%
= 47.6625%

Body centered cube (bcc) / kubus berpusat badan
Volume kubus
Karena pajang sisi kubus adalah a, maka volume kubus = a^3.
Volume atom/bola
Pada tipe ini, pada sudut kubus ditempati oleh 8 atom dimana tiap atom memberikan/berkontribusi ⅛ bagian untuk membentuk satu kubus, ditambah dengan satu atom yang berada di pusat kubus (perpotongan antara dua diagonal ruang) yang utuh/berkontribusi seluruhnya, sehingga satu kubus tersebut terdiri dari 2 atom {(8 atom sudut x ⅛) + (1 atom pusat x 1) = 2 atom). Dengan demikian volume atom pada body centered cube ini adalah
= 2 x 4/3 x phi x r^3
= 2 x 4/3 x (3.14) x r^3
= 8.373 r^3

Panjang diagonal ruang kubus adalah a√3 = 4r (atom – atom pada sudut kubus bersinggungan dengan atom pusat, tapi antara keempatnya tidak saling bersinggungan), maka volume rongga pada kubus sederhana,
= volume kubus – volume atom
= a^3 – 8.373 r^3
= a^3 – 8.373 {( a√3)/4}^3
= a^3 – 0.6798 a^3
= 0.3202 a^3
Sehingga persen volume rongga pada tipe kubus berpusat badan,
={(volume rongga)/volume kubus } x 100 %
= {(0.3202 a^3)/(a^3)} x 100%
= 32.02 %

Face centered cube (fcc) / kubus berpusat muka
Volume kubus
Karena pajang sisi kubus adalah a, maka volume kubus = a^3.
Volume atom/bola
Pada tipe ini, pada sudut kubus ditempati oleh 8 atom dimana tiap atom memberikan/berkontribusi ⅛ bagian untuk membentuk satu kubus, ditambah dengan 6 atom yang berada pada sisi kubus (perpotongan antara dua diagonal sisi) yang memberikan kontribusinya sebesar ½ bagian, sehingga satu kubus tersebut terdiri dari 4 atom {(8 atom sudut x ⅛) + (6 atom sisi x ½) = 4 atom). Dengan demikian volume atom pada face centered cube ini adalah
= 4 x 4/3 x phi x r^3
= 4 x 4/3 x (3.14) x r^3
= 16.747 r^3
Panjang diagonal ruang kubus adalah a√2 = 4r, maka volume rongga pada kubus sederhana,
= volume kubus – volume atom
= a^3 – 16.747 r^3
= a^3 – 8.373 {(a√2)/4}^3
= a^3 – 0.74 a^3
= 0.26 a^3
Sehingga persen volume rongga pada tipe kubus berpusat muka,
={(volume rongga)/volume kubus } x 100 %
= {(0.26 a^3)/(a^3)} x 100%
= 26 %


Lalu bagaimana jika tipe bangun kemas berbentuk tetrahedral?? Berikut perhitungannya.

Volume limas segitiga
Panjang sisi limas segitiga adalah a,
Tinggi alas ( t ) = √{(a^2) – (½ a)^2}
= ½√3 a

Tinggi limas (h) = √{(a^2) – (¼√3a)^2}
= {(√13)/4} a

Sehingga volume limas segitga = Luas alas x tinggi limas
= (½ x a x ½√3 a) x {(√13)/4} a
= 1/16 √39 a^3

Volume atom
Pada tipe ini, terdapat 4 atom sudut yang saling bersinggungan, dimana tiap atom memberikan 1/6 bagiannya dalam membentuk limas segitiga, sehingga dalam limas segitiga ini terdapat ⅔ atom ( 4 atom sudut x 1/6 = ⅔ atom ). Dengan demikian volume dari limas segitiga (tetrahedral) tersebut adalah sebagai berikut.
= 2/3 x 4/3 x phi x r^3
= 8/9 x (3.14) x r^3
= 2.791 r^3
Panjang sisi limas yaitu a, ternyata nilainya sama dengan 2r (dua atom yang saling bersinggungan), sehingga a = 2r.
Maka volume rongga tipe tetrahedral ini
= volume limas segitiga – volume atom yang menempati
= 1/16 √39 a^3 – 2.791 r^3
= 1/16 √39 (2r)^3 – 2.791 r^3
= 0.331 r^3
Sehingga prosentase volume rongga pada tipe tetrahedral ini
= (volume atom yang menempati)/(volume limas) x 100%
= (0.331 r^3) / (2.791r^3) x 100%
= 11.89 %